Распределение времени выхода из множества состояний перегрузки в системе с гистерезисным управлением нагрузкой

Одним из наиболее простых в реализации и эффективных решений проблемы перегрузок, обеспечивающим наименьшее число переключений режимов функционирования системы, является гистерезисное управление нагрузкой. В статье предложен аналитический метод исследования параметров гистерезисного управления. В качестве математической модели рассмотрена система массового обслуживания (СМО) M|M\1|(L,H)|(H,R) с двумя петлями гистерезисного управления, где H - порог обнаружения перегрузки; L - порог снижения перегрузки; R - порог сброса нагрузки. Получены два метода вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) времени возврата системы из множества состояний перегрузки в множество состояний нормальной нагрузки: первый - путем решения системы уравнений с ПЛС неизвестных времен возврата для каждого состояния перегрузки; второй - с помощью рекуррентного представления ПЛС времен возврата в виде дробно-рациональных функций. Оба метода позволяют при вычислениях эффективно применять инструментальные программные средства общего назначения, что показано на численном примере.

THE DISTRIBUTION OF THE RETURN TIME FROM THE SET OF OVERLOAD STATES TO THE SET OF NORMAL LOAD STATES IN A SYSTEM M|M\1|(L,H)|(H,R) WITH HYSTERETIC LOAD CONTROL

An analytical method for studying the parameters of the hysteretic control, which is implemented as one of the effective solutions to the overload problem in the network of SIP-servers, is suggested. As a mathematical model, the queuing system M|M\1|(L,H)|(H,R) with two loops hysteretic control was developed, where H is the overload onset threshold, L is the overload abatement threshold, and R is the discard threshold. Two methods of calculating the Laplace-Stieltjes transform of the distribution function of the return time from the set of overload system states to the set of normal load system states were obtained. The first method consists in solving a system of equations with return times for each state of the set of overload system states as unknowns, the second deals with the recurrence for the Laplace-Stieltjes transform of the distribution function of the return time for each state of the set of overload system states as rational fractional expressions. Both methods allow the effective calculations with standard software tools, as shown in the numerical example.