Слабые гомологические размерности и биплоские алгебры Кёте

В работе исследуются гомологические свойства метризуемых алгебр Кёте $\lambda(P)$. Получен критерий биплоскости алгебры $A=\lambda(P)$ в терминах множества Кёте $P$, из которого следует, в частности, что для таких алгебр свойства бипроективности, биплоскости и плоскости слева эквивалентны сюръективности оператора умножения $A\mathbin{\widehat\otimes}A\to A$. Вычислены слабые гомологические размерности (слабая глобальная размерность $\operatorname{w.dg}$ и слабая биразмерность $\operatorname{w.db}$) биплоских алгебр Кёте. А именно, показано, что условия $\operatorname{w.db}\lambda(P)\le1$ и $\operatorname{w.dg}\lambda(P)\le1$ эквивалентны ядерности $\lambda(P)$; если же $\lambda(P)$ неядерна, то $\operatorname{w.dg}\lambda(P) =\operatorname{w.db}\lambda(P)=2$. При некоторых дополнительных условиях на множество Кёте $P$ установлено, что из ядерности биплоской алгебры Кёте $\lambda(P)$ следует более сильная оценка $\operatorname{db}\lambda(P)\le1$, где $\operatorname{db}$ – (проективная) биразмерность. С другой стороны, построен пример ядерной биплоской алгебры Кёте $\lambda(P)$, для которой $\operatorname{db}\lambda(P)=2$ (в то время как $\operatorname{w.db}\lambda(P)=1$). Наконец, показано, что многие биплоские алгебры Кёте, не будучи аменабельными, имеют тривиальные в положительных степенях гомологии Хохшильда (с произвольными коэффициентами).
Библиография: 37 названий.

Weak homological dimensions and biflat Köthe algebras