Математическое моделирование диффузионных процессов в наноматериалах

Наноструктурные материалы представляют интерес для перспективных направлений современной техники. Об этом свидетельствует многочисленные публикации и тематические конференции [1-4]. Решение практических задач микро - и нано-технологии требует осознанного понимания физических механизмов протекающих процессов. Превалирующая роль среди последних принадлежит диффузионным явлениям. Именно они определяют поведения наноструктурных материалов в условиях повышенных температур и облучения. Это обусловлено тем, что характерной особенностью наноструктурных материалов является наличие разветвленной сети границ зерен и их тройных стыков. Кинетика диффузии атомов примеси в поле внутренних напряжений зависит от первого инварианта их тензора. В общем случае этот параметр имеет сложную координатную зависимость. Такая зависимость приводит к математическим трудностям при решении краевых задач диффузионной кинетики. Исключением из общего правила являются внутренние напряжения с логарифмической зависимостью от радиальной координаты. Эта особенность позволяет получать точное аналитическое решение краевых задач диффузии с учетом полей напряжений. Математическая простота решения связана с тем, что в цилиндрической системе координат логарифмическая функция является гармонической, а ее градиент обратно пропорционален радиальной координате. Упругой моделью тройного стыка границ зерен служит клиновая дисклинация. Кинетика диффузии атомов примеси в окрестности тройного стыка границ зерен математически формулируется следующим образом ^ro С(г,0) = С₀, где D - коэффициент диффузии атомов примеси, С* и С% - равновесные концентрации атомов примеси на границах области, k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, Со - средняя концентрация атомов примеси, V - потенциал взаимодействия атома примеси с полем напряжений клиновой дисклинации. Эта задача для принятого значения потенциала V имеет точное аналитическое решение. Таким образом это позволяет математически моделировать диффузионные процессы в наноструктурных материалах с использованием внутренних напряжений. Логарифмическая координатная зависимость потенциала V упрощает эту задачу. Если наночастица имеет форму додекаэдра или икосаэдра, то поля внутренних напряжений в их окрестностях также имеют логарифмическую зависимость от радиальной координаты. Поэтому не возникает существенных математических трудностей при моделировании диффузионных процессов в окрестности и таких наночастиц (сферическая симметрия). VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике 527