Об одной нелинейной модели упругих негейзенберговских ферромагнетиков с биквадратичным спиновым обменом

Теоретические исследования нелинейных процессов в магнетиках опираются на ряд интегрируемых нелинейных моделей: нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнение синус-Гордона, уравнение Ландау-Лифшица (УЛЛ) и др. УЛЛ и его различные редукции, включая НУШ и уравнение синус-Гордона, при различных физических допущениях, описывают магнетики, не принимая во внимание флуктуации магнитной кристаллической решетки («жесткие» магнетики). Иными словами, рассматривается чисто спиновая подсистема, не принимая во внимание ее взаимодействие с фононнои подсистемой. Однако при некоторых физических условиях влияние фононнои подсистемы может оказаться сравнимым с влиянием спиновой подсистемы. Поэтому оказывается необходимым учесть взаимодействие спиновой и фононнои подсистем. В результате мы получаем так называемые маг-нитоупругие или спин-фононные системы, описываемые обобщенными УЛЛ с некоторыми потенциалами и самосогласованными потенциалами (УЛЛ-СП), Мы даем вывод и представляем список УЛЛ с потенциалами и самосогласованными потенциалами, которые описывают упругие магнетики. Изучается дифференциальная геометрия двумерных поверхностей, связанных с этими уравнениями. Соответствующие уравнения Гаусса-Майнарди-Кодацци по существу и составляют обобщенное НУШ с некоторым потенциалом. Эти НУШ эквивалентны в смысле Лакшманана (L-эквивалентны) данному обобщенному УЛЛ. Используя L-эквивалентность, доказывается интегрируемость одного из этих уравнений УЛЛ-СП. Представлен новый класс двумерных поверхностей, задаваемых формулами, являющимися обобщениями хорошо известных формул Лельевра и Шиффа. Эти поверхности связаны с двумерными спиновыми системами, которые являются стационарными вариантами (2+ 1)-мерных УЛЛ.

Theoretical investigations of nonlinear processes in magnets lean on a lot of integrable nonlinear models: the nonlinear Schrodinger equation (NLSE), the sine-Gordon equation, the Landau-Lifshitz equation (LLE) etc. LLE and its various reductions, including NLSE and the sine-Gordon equation at various physical assumptions, describe magnets without taking into account fluctuation of a magnetic crystal lattice ("rigid" magnets). In other words the purely spin subsystem is considered without taking into account its interaction with the phonon subsystem. However under certain physical conditions the influence of the phonon subsystem can appear to be comparable with that of the spin subsystem. Therefore it is necessary to take into account the interaction between spin and phonon subsystems. As a result we obtain the so called magnetoe-tastic or spin-phonon systems, which are described by the generalized Landau-Lifshitz equations (LLE) with potentials and with a self-consistent potentials (LLE-SP). We consider the derivation and present a list of the generalized LLE with potentials and with self-consistent potentials which describe elastic magnets. The differential geometry of two-dimensional surfaces related with these equations is investigated. The corresponding Gauss-Mainardi-Codazzi equations are in fact a generalized NLSE with a potential. These NLSE are Lakshmanan equivalent (L-equivalent) to the given generalized LLE. Using this Lakshmanan equivalence, the integrability of one of these LLE-SP is proved. A new class of two-dimensional surfaces generated by formulas which are generalizations of the well known Lelieuvre and Schief formulas is presented. These surfaces are connected with two-dimensional spin systems which are stationary versions of the (2+l)-dimensional LLE.