Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена

Рассматривается геометрия циклид Дюпена, как подкласса каналовых поверхностей Иоахимсталя. Поверхности Иоахимсталя относятся к классу поверхностей, одного семейство линий кривизны которых лежи т в плоскостях пучка, т.е. в плоскостях имеющих общую ось вращения. В отличие от большинства работ по геометрии циклид Дюпена, в работе используется уравнение каналовых поверхностей Иоахимсталя, отражающее процесс их образования - вращение окружности переменного радиуса вкруг заданной оси. При этом, чтобы образующие окружности были линиями кривизны поверхности, их радиус изменяется по определенному закону. В работе показано, что если направляющая линия каналовой поверхности Иоахимсталя - линия, очерчиваемая концом диаметра образующей окружности, является окружностью или прямой линией, то и второе семейство линий кривизны будет окружностями, и, следовательно, образованная таким образом поверхность будет циклидой Дюпена. Получены формулы коэффициентов первой квадратичной формы и главных кривизн поверхности. Приводятся изображения циклид Дюпены различной формы, полученные на основании уравнения поверхностей с помощью компьютерной системы MathCad.

Some aspects of the Geometry of Dupin's cyclide

A geometry of Dupin's cyclide as a kind of channel Joachimsthal's surfaces are discussed in the article. Joachimsthal's surfaces are the surfaces one family of the curvature lines of which lies in the planes rotating around some axe. There are used an equation of Joachimsthal's channel surfaces with a circle or a straight line as a guide line. It is shown that the surfaces that are organized in such a way will be the Dupin's cyclides. The formulas of the quadratics and the curvatures of the surface are received. The drawings of the Dupin's cyclides of the different forms which are build with the help of the MathCad system are shown.