Алгоритм поиска точек совпадения в сложных системах

Статья посвящена методам исследования сложных систем, в частности, вопросу поиска точек совпадения двух отображений. Понятие точки совпадения отображений является обобщением понятия неподвижной точки отображения и, по определению, является точкой пересечения областей определения отображений, имеющей одинаковые образы. Понятие точки совпадения отображений используется в различных прикладных задачах системного анализа, обработки информации и искусственного интеллекта. Также оно применяется для решения различных экономических задач, в частности, задач распределения ресурсов, определения объемов производства и государственного регулирования цен. В настоящей работе теория точек совпадения применена к исследованию вопроса существования положения равновесия в рыночной системе. Положением равновесия называется состояние рынка, в котором спрос на каждый товар, присутствующий на рынке, равен его предложению. Разработан численный алгоритм поиска точки совпадения для накрывающего и липшицевого отображений. Работа алгоритма продемонстрирована при исследовании модельного примера рыночной системы, в которой отображения спроса и предложения восстановлены по соответствующим эластичностям. Для этой системы решается задача определения положения частичного равновесия - ситуации, при которой реализуется равновесие для некоторого подмножества товаров. Положение частичного равновесия рассмотрено как точка совпадения отображений спроса и предложения. С помощью алгоритма определено положение частичного равновесия по первому товару для рынка двух товаров.

The paper is dedicated to complex systems analysis, in particular, the question of searching a coincidence point for two mappings. A coincidence point is a point at which the image of one mapping coincides with the one of another mapping at this point. This notion is a generalization of fixed point concept. It can be applied to information processing, artificial intellect and system analysis. Besides, this concept may be applied in economical problems such as resourse management, production volume calculation and price regulation. In this paper coincidence points theory is applied to the question of equilibrium in market system. An equilibrium is a state at which the supply of all goods on the market equals to thier demand. We developed a search algorithm of coincidence point for covering and Lipschitz-continuous mappings. The work of this algorithm is demonstrated on open market model. In this model supply and demand mappings are restored by their price elasticities. Elasticity is a measure of change for one variable under the change of another. We consider partical equilibrium in this model. It is a state at which supply equals demand for some subset of goods, not all of them. Equilibrium is conisedered as a coincidence point of supply and demand mappings. We complement the results with the example of partial equilibrium in the model of two goods.