Численный анализ сингулярно возмущённого уравнения Фоккера-Планка

В данной работе представлено применение численных методов к решению диффузионных процессов с использованием сингулярно возмущенного уравнения Фоккера-Планка. Уравнение Фоккера-Планка - это вырожденное уравнение конвективной диффузии, возникающее в теории марковских процессов. Уравнение Фоккера-Планка описывает эволюцию функции плотности вероятности скорости частицы во времени и может быть обобщено также на другие наблюдаемые величины. Это уравнение описывает эволюцию плотности вероятностей переходов из исходного состояния в конечное состояние для широкого класса динамических систем, управляемых гауссовым шумом. Уравнение Фоккера-Планка является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, которое дополняется граничными условиями в дополнение к начальному условию. При этом особое внимание вызывает поведение решения на малом начальном промежутке времени. Аналитические решения уравнения Фоккера-Планка были разработаны лишь для ограниченного числа низкоразмерных систем, что привело к появлению большого числа приближёных методов решения этого уравнения. В данной работе проведён численный анализ диффузионных процессов с использованием сингулярно возмущённого уравнения Фоккера-Планка. Мы используем численный метод, в котором используется адаптивная неоднородная сеточная схема высокого порядка для решения уравнения Фоккера-Планка. Численные эксперименты подтверждают равномерную сходимость численных решений, выполненных с использованием такой схемы. Этот метод может быть обобщён и использован для решения многомерных уравнения Фоккера-Планка с граничными и внутренними слоями.

Numerical analysis of singularly perturbed Fokker-Planck equation

This paper presents an application of numerical methods to the solution of diffusion processes using the singularly perturbed Fokker-Planck equation. The Fokker-Planck equation is a degenerate convective-diffusion equation arising in Markov-Process theory. The Fokker-Planck equation describes the time evolution of the probability density function of the velocity of a particle, and can be generalized to other observables as well. It governs the evolution of the transition probability density function of the response of a broad class of dynamical systems driven by Gaussian noise, and completely describes the response process. Now, the Fokker-Planck equation is a second-order partial differential equation and it should be supplemented by boundary conditions, in addition to an initial condition. The most interesting boundary is the boundary at zero. Analytical solutions for the Fokker-Planck equation have been developed for only a limited number of low-dimensional systems, leading to a large body of approximation theory. In this paper numerical analysis of diffusion processes using the singularly perturbed Fokker-Planck equation is made. We use the adaptive high-order non-uniform grid scheme for solving the Fokker-Planck equation in an effort to choose a method that can yield higher accuracy on cruder spatial discretizations, thus reducing the computational overhead associated with large scale problems that arise in higher dimensions.