Nonpotentiality of a diffusion system and the construction of a semi-bounded functional

The wide prevalence and the systematic variational principles are used in mathematics and applications due to a series of remarkable consequences among which the possibility to establish the existence of the solutions of the initial equations, and the determination of stable approximations of the solutions of the considered equations by the so-called variational methods. In this connection, it is natural for a given system of equations to investigate the problem of the existence of its variational formulations. It can be considered as the inverse problem of the calculus of variations. The main goal of this work is to study this problem for a diffusion system of partial differential equations. A key object is the criterion of potentiality. On its ground, the nonpotentiality of the operator of the given boundary value problem with respect to the classical bilinear form is proved. This system does not admit a matrix variational multiplier of the given form. Thus, the diffusion system cannot be deduced from the classical Hamilton’s principle. We posed the question that whether there exists a functional semi-bounded on solutions to the boundary value problem. We have done the algorithm of the constructive determination of such a functional. The main value of constructed functional action will be in applications of direct variational methods.

Широкое распространение и систематическое использование вариационных принципов в математике и приложениях объясняется рядом замечательных следствий, среди которых возможность установить существование решений исходных уравнений и определение устойчивых приближений их решений так называемыми вариационными методами. В связи с этим для заданной системы уравнений естественно исследовать вопрос о существовании ее вариационных формулировок. Ее можно рассматривать как обратную задачу вариационного исчисления. Основная цель настоящей работы - исследование этой задачи для системы уравнений в частных производных диффузии. Ключевой объект - критерий потенциальности. На его основании доказана непотенциальность оператора данной краевой задачи относительно классической билинейной формы. Показано, что эта система не допускает матричный вариационный множитель данного вида. Таким образом, заданная система диффузии не может быть выведена из классического вариационного принципа Гамильтона. Поставлен вопрос о том, существует ли функционал, полуограниченный на решениях данной краевой задачи. Изложен алгоритм конструктивного определения такого функционала. Основная ценность построенного функционала заключается в применении прямых вариационных методов.