Numerical solution of Cauchy problems with multiple poles of integer order

We consider Cauchy problem for ordinary differential equation with solution possessing a sequence of multiple poles. We propose the generalized reciprocal function method. It reduces calculation of a multiple pole to retrieval of a simple zero of accordingly chosen function. Advantages of this approach are illustrated by numerical examples. We propose two representative test problems which constitute interest for verification of other numerical methods for problems with poles.

Рассмотрена задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с решением, обладающим последовательностью кратных полюсов целого порядка. Предложен обобщённый метод обратной функции, который сводит вычисление кратного полюса к расчёту простого нуля соответственно выбранной функции. Преимущества такого подхода проиллюстрированы на численных примерах. Предложены сложные тестовые задачи, которые представляют интерес для проверки других численных методов для задач с полюсами.