Richardson-Kalitkin method in abstract description

An abstract description of the Richardson-Kalitkin method is given for obtaining a posteriori estimates for the proximity of the exact and found approximate solution of initial problems for ordinary differential equations (ODE). The problem is considered, the solution of which results in a real number ?. To solve this problem, a numerical method is used, that is, the set ⊂ ℝ and the mapping ?_ℎ ∶ → ℝ are given, the values of which can be calculated constructively. It is assumed that 0 is a limit point of the set and ?_ℎ can be expanded in a convergent series in powers of ℎ: ?_ℎ = + ?₁ℎ^? + …. In this very general situation, the Richardson-Kalitkin method is formulated for obtaining estimates for and from two values of ?_ℎ. The question of using a larger number of ?_ℎ values to obtain such estimates is considered. Examples are given to illustrate the theory. It is shown that the Richardson-Kalitkin approach can be successfully applied to problems that are solved not only by the finite difference method.

Дано абстрактное описание метода Ричардсона-Калиткина для получения апостериорных оценок близости точного и найденного приближённого решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Рассматривается задача ?, результатом решения которой является вещественное число ?. Для решения этой задачи используется численный метод, то есть заданы множество ⊂ ℝ и отображение ?_ℎ ∶ → ℝ, значения которого имеется возможность вычислять конструктивно. При этом предполагается, что 0 является предельной точкой множества ?, ?_ℎ можно разложить в сходящийся ряд по степеням ℎ: ?_ℎ = + ?₁ℎ^? + …. В этой весьма общей ситуации сформулирован метод Ричардсона-Калиткина получения оценок для и по двум значениям ?_ℎ. Рассмотрен вопрос об использовании большего числа значений ?_ℎ для получения такого рода оценок. Приведены примеры, иллюстрирующие теорию. Показано, что подход Ричардсона-Калиткина с успехом может быть применён к задачам, которые решаются не только методом конечных разностей.