О линейной обратной потенциальной задаче для тел постоянной толщины с данными о потенциальном поле на приближённо заданной поверхности

В докладе рассматривается обратная задача восстановления плотности ньютоновского потенциала по данным о поле потенциала на поверхности общего вида. В работе для описания потенциала применяется модель, соответствующая нечётно-периодической функции плотности потенциала. Функция плотности потенциала в принятой модели соответствует телу постоянной толщины. Обратная задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, правая часть которого вычисляется с использованием данных о поле и о поверхности, на которой оно задаётся. Так как предполагается, что эти данные являются результатом измерений и известны с некоторой погрешностью, то правая часть интегрального уравнения вычисляется приближённо. При этом дополнительно решается задача о построении нормали к поверхности, заданной приближённо. Для построения устойчивого приближённого решения интегрального уравнения первого рода как некорректно поставленной задачи используется метод регуляризации Тихонова. В качестве приближённого решения принимается экстремаль сглаживающего функционала. Доказана сходимость приближённого решения задачи к точному при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных о поле потенциала и о поверхности.

On linear inverse potential problem for bodies of constant thickness with data on the potential field on an approximately given surface

The inverse problem of reconstruction of the density function of the newtonian potential is considered in this work using data on the potential field on a general type surface. The model that matched the odd-periodic potential density is used for describing the potential in this work. The potential density function in the suggested model corresponds to the constant thickness body. The inverse problem is reduced to Fredholm equation of the first kind. The right part of this equation is solved with data about the field and the given surface. It is supposed that this data is the result of the measuring with some measurement error. In these conditions the right part of the integral equation is calculated approximately. In addition, the problem of building normal for the approximate surface is solved. The Tikhonov regularisation method is applied for building stable approximate solution of the integral equation of the first kind as an ill-posed problem. The extremal of smoothing functional is used as an approximate solution. The convergence of approximate solution to the precise solution is proven with adjustment of regularisation parameter with error of potential data and the data about the surface.