Численное определение порядка особенности системы дифференциальных уравнений

В статье рассматриваются подвижные особые точки систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дан обзор результатов Пенлеве об алгебраичности этих точек и их связи с задачей Г. И. Марчука об определении положения и порядка подвижных особых точек по методу конечных разностей. Представлена реализация численного метода решения этой задачи, предложенная Н. Н. Калиткиным и Е. А. Альшиной (2005) на основе комплексной схемы Розенброка, в системе компьютерной алгебры Sage - пакет CROS for Sage. Описаны основные функции этого пакета, приведены численные примеры использования каждой из них. В целях верификации метода проведены компьютерные эксперименты: (1) с уравнениями, обладающими свойством Пенлеве, для которых порядки должны получаться целыми числами; (2) с динамической системой Калоджеро. Эта система, хорошо известная как нетривиальный пример вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в данном контексте интересна тем, что координаты и импульсы являются алгебраическими функциями времени, причём порядки подвижных точек ветвления можно вычислить явно. В рамках численных экспериментов обнаружено, что условия применимости метода требуют дополнительных оговорок, связанных с исключением точек суперсходимости.

Numerical determination of the singularity order of a system of differential equations

We consider moving singular points of systems of ordinary differential equations. A review of Painlevé’s results on the algebraicity of these points and their relation to the Marchuk problem of determining the position and order of moving singularities by means of finite difference method is carried out. We present an implementation of a numerical method for solving this problem, proposed by N. N. Kalitkin and A. Al’shina (2005) based on the Rosenbrock complex scheme in the Sage computer algebra system, the package CROS for Sage. The main functions of this package are described and numerical examples of usage are presented for each of them. To verify the method, computer experiments are executed (1) with equations possessing the Painlevé property, for which the orders are expected to be integer; (2) dynamic Calogero system. This system, well-known as a nontrivial example of a completely integrable Hamiltonian system, in the present context is interesting due to the fact that coordinates and momenta are algebraic functions of time, and the orders of moving branching points can be calculated explicitly. Numerical experiments revealed that the applicability conditions of the method require additional stipulations related to the elimination of superconvergence points.