О МАРКОВСКИХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ПОТОКАХ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ. I

Статья представляет собой первую часть обзора, призванного ознакомить заинтересованных читателей с основами теории марковских потоков событий для более подробного изучения и облегчения применения этих моделей на практике. В первой части приведены свойства общих марковских потоков событий и показана их связь с марковскими аддитивными процессами и процессами марковского восстановления. Во второй части обзора будут рассмотрены частные случаи таких потоков - подклассы марковских потоков событий, а именно: простые и групповые потоки однородных и неоднородных событий, важные для приложений. Далее будет показано, как свойства марковских потоков событий связаны с мультипликативностью стационарных распределений марковских систем. В завершение обзора будут обсуждены матрично-экспоненциальные распределения и рациональные потоки событий, расширяющие возможности марковских потоков для моделирования сложных систем и при этом сохраняющие удобство их анализа с помощью вычислительной техники.

This article is the first part of a review carried out within the framework of the RFBR project No. 1917-50126. The purpose of this review is to get the interested readers familiar with the basics of the theory of Markovian arrival processes to facilitate the application of these models in practice and, if necessary, to study them in detail. In the first part of the review, the properties of general Markovian arrival processes are presented and their relationship with Markov additive processes and Markov renewal processes is shown. In the second part of the review, the important for applications subclasses of Markovian arrival processes, i. e., simple and batch arrival processes of homogeneous and heterogeneous arrivals, are considered. After that, it is shown how the properties of Markovian arrival processes are associated with the product form of stationary distributions of Markov systems. In conclusion, matrix-exponential distributions and rational arrival processes are discussed that expand the capabilities of Markovian arrival processes for modeling complex systems, while preserving the convenience of analyzing them using computations.