Символьные задачи, связанные с методом Рунге-Кутты, и их решение в Sage

Метод Рунге-Кутта (РК) является основным численным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами. Во-первых, мы создали и протестировали пакет для стандартного и симплектического РК, верифицировали наши результаты путём сравнения с результатами, полученными вручную. Во-вторых, в Sage имеются отличные инструменты для исследования алгебраических множеств, основанные на базовой технике базисов Грёбнера. Как известно, выбор параметров в РК свободен. С помощью этих инструментов мы можем изучать свойства алгебраических многообразий в аффинном пространстве, координатами которого являются коэффициенты Бучера в РК. Приведены результаты построения коэффициентов РК, заданного в явном и неявном видах, полученные с использованием нашего rk пакета. Приведены подтверждающие наши результаты примеры. Все вычисления выполнены в компьютерном программном алгебраическом пакете Sage.

The symbolic problems associated with Runge-Kutta methods and their solving in Sage

Runge-Kutta method(RKM) plays a very important role in solving ordinary differential equations numerically. Firstly, we construct and test rk package with standard and symplectic RKM and verified our result by corporation with results made by hand. Secondly, in Sage there are excellent tools for investigation of algebraic sets, based on Gröbner basis technique. As we all known, the choice of parameters in RKM is free. By the help of these tools we can study the algebraic properties of the manifolds in affine space, coordinates of whose are Butcher coefficients in RKM. Results are given both for explicit and implicit RKM by using our rk package. Examples are carried out to justify our results. All calculation are executed in the computer algebra system Sage.