Алгебраическая динамика на единой мировой линии: формулы Виета и законы сохранения

В развитие давних идей Штукельберга, Уилера и Фейнмана о так называемой «одноэлектронной Вселенной» мы предлагаем чисто алгебраическую конструкцию ансамбля тождественных точечных частиц, принадлежащих одной и той же мировой линии и согласованно движущихся вдоль неё. В такой конструкции никак не используются какие-либо уравнения движения, лагранжианы и проч. Вместо этого мы определяем «единую» мировую линию неявным образом с помощью системы нелинейных полиномиальных уравнений с параметром типа времени. При этом в каждый момент имеется целый набор решений, задающих координаты частиц-копий, локализованных на той же мировой линии и движущихся вдоль неё. В теории естественно возникают два различных типа таких частиц, отвечающих вещественным и комплексно сопряжённым корням исходной полиномиальной системы уравнений. В определённые моменты времени имеют место переходы между парами таких частиц-корней, моделирующие процессы аннигиляции или рождения пары «частица-античастица». Мы ограничиваемся рассмотрением нерелятивистской коллективной динамики ансамбля таких частиц на плоскости. С использованием техники результантов полиномов система генерирующих уравнений сводится к двум полиномиальным уравнениям от одной переменной, после чего известные формулы Виета предопределяют существование не зависящих от времени связей между положениями частиц-корней и их производными по времени. Показано, что для очень широкого класса исходных полиномов (с полиномиальной зависимостью коэффициентов от времени) такие связи всегда имеют место и могут естественным образом интерпретироваться в качестве законов сохранения полного импульса, момента импульса и (аналога) полной механической энергии «замкнутой» системы частиц.

ALGEBRAIC DYNAMICS ON A SINGLE WORLDLINE: VIETA FORMULAS AND CONSERVATION LAWS

In development of the old conjecture of Stuckelberg, Wheeler and Feynman on the so-called “one electron Universe”, we elaborate a purely algebraic construction of an ensemble of identical pointlike particles occupying the same worldline and moving in concord with each other. In the proposed construction one does not make use of any differential equations of motion, Lagrangians, etc. Instead, we define a “unique” worldline implicitly, by a system of nonlinear polynomial equations containing a time-like parameter. Then at each instant there is a whole set of solutions setting the coordinates of particles-copies localized on the unique worldline and moving along it. There naturally arise two different kinds of such particles which correspond to real or complex conjugate roots of the initial system of polynomial equations, respectively. At some particular time instants, one encounters the transitions between these two kinds of particles-roots that model the processes of annihilation or creation of a pair “particle-antiparticle”. We restrict by consideration of nonrelativistic collective dynamics of the ensemble of such particles on a plane. Making use of the techniques of resultants of polynomials, the generating system reduces to a pair of polynomial equations for one unknown, with coefficients depending on time. Then the well-known Vieta formulas predetermine the existence of time-independent constraints on the positions of particles-roots and their time derivatives. We demonstrate that for a very wide class of the initial polynomials (with polynomial dependence of the coefficients on time) these constraints always take place and can be naturally interpreted as the conservation laws for total momentum, angular momentum and (the analogue of) total mechanical energy of the “closed” system of particles.