ДВУХСЕТОЧНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНОГО БАЗИСА ХААРА. ЧАСТЬ 1: ОДНОМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

В настоящей статье рассматривается двухсеточный метод расчета строительных конструкций на основе использования дискретного базиса Хаара (в частности, здесь рассматриваются простейшие одномерные задачи). Приведен краткий обзор публикаций последних лет российских и зарубежных специалистов, посвященных актуальным направлениям использования вейвлет-анализа в строительной механике, описаны аппроксимации сеточных функций в дискретных базисах Хаара нулевого и первого уровней (сеточная функция представляется в виде суммы, в которой одно слагаемое является ее аппроксимацией первого уровня, а второе слагаемое называется детализацией (дополнением до исходного состояния) на сетке первого уровня), построены проекторы на пространства векторных функций исходной сетки на пространство их аппроксимации на сетке первого уровня и его дополнения (детализирующая составляющая) до исходного состояния, изложена схема построения двухсеточного метода, позволяющего получить решение краевых задач строительной механики, оперируя матричными операторами существенно меньшей размерности. Поясним, что в качестве дискретного аналога исходного операторного уравнения, определенного на заданном отрезке выступает система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), сформированная в рамках метода конечных разностей или метода конечных элементов. Далее осуществляется переход к разрешающей СЛАУ, решаемой с использованием блочного метода Гаусса (производится соответственно прямой и обратный ход). В качестве характерного практически важного одномерного примера рассмотрено численное решение краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли, лежащей на упругом основании, описываемом в рамках модели Винклера. Имеет место хорошая согласованность результатов, полученных предложенным методом и стандартным методом конечных разностей.

TWO-GRID METHOD OF STRUCTURAL ANALYSIS BASED ON DISCRETE HAAR BASIS PART 1: ONE-DIMENSIONAL PROBLEMS

The distinctive paper is devoted to the two-grid method of structural analysis based on discrete Haar basis (in particular, the simplest one-dimensional problems are under consideration). A brief review of publications of recent years of Russian and foreign specialists devoted to the current trends in the use of wavelet analysis in construction mechanics is given. Approximations of the mesh functions in discrete Haar bases of zero and first levels are described (the mesh function is represented as the sum in which one term is its approximation of the first level, and the second term is so-called complement (up to the initial state) on the grid of the first level). Projectors are constructed for the spaces of vector functions of the original grid to the space of their approximation on the first-level grid and its complement (the detailing component) to the initial state. Basic scheme of the two-grid method is presented. This method allows solution of boundary problems of structural mechanics with the use of matrix operators of significantly smaller dimension. It should be noted that discrete analogue of the initial operator equation (defined on a given interval) is a system of linear algebraic equations (SLAE) constructed within finite difference method (FDM) or the finite element method (FEM). Next, the transition to the resolving SLAE is done. Block Gauss method is used for its direct solution (forward-backward algorithm is realized). We consider a numerical solution of the boundary problem of bending of the Bernoulli beam lying on an elastic foundation (within Winkler model) as a practically important one-dimensional sample. There is good consistency of the results obtained by the proposed method and by standard finite difference method.