О гиперболических уравнениях с произвольно направленными сдвигами потенциалов

Исследуется гиперболическое уравнение с произвольным количеством потенциалов, на которые действуют операторы сдвига в произвольных направлениях. Дифференциально-разностные уравнения возникают в различных приложениях, не покрываемых классической теорией дифференциальных уравнений. Кроме того, они представляют значительный интерес и с теоретической точки зрения, поскольку нелокальная природа таких уравнений порождает различные эффекты, не возникающие в классическом случае. Мы находим условие на вектор коэффициентов при нелокальных членах уравнения и на векторы сдвигов потенциалов, обеспечивающее глобальную разрешимость рассматриваемого уравнения. Накладывая указанное условие на уравнение и применяя классическую схему Гельфанда - Шилова, мы строим в явном виде трехпараметрическое семейство гладких глобальных решений изучаемого уравнения.

We investigate a hyperbolic equation with an arbitrary amount of potentials undergoing translations in arbitrary directions. Such differential-difference equations arise in various applications not covered by the classical theory of differential equations. On the other hand, they are quite interesting from the theoretical viewpoint because of specific effects caused by the nonlocal nature of the investigated equations. We find a condition for the vector of coefficients at nonlocal terms of the investigated equation and the translation vectors, guaranteeing the global solvability of the investigated equation. Under this condition, we explicitly construct a three-parametric family of smooth global solutions of the investigated equation; two of the specified parameters are real values, while the remaining one is a real-coordinate vector such that its dimension is equal to the amount of nonlocal terms (i. e., translated potentials) of the investigated equation. No commensurability requirements are imposed on the coefficients at nonlocal terms of the equation.