Об асимптотическом разложении характеристического определителя для $2 \times 2$-систем типа Дирака

Статья посвящена граничным задачам для следующей $2 \times 2$-системы типа Дирака: $ L y = -i B^{-1} y' + Q(x) y = \lambda y,\quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 00 & b_2 \end{pmatrix},\quad y= \mathrm{col}(y_1, y_2), $ с гладкой потенциальной матрицей $Q \in W_1^n[0,1] \otimes {\mathbb C}^{2 \times 2}$ и $b_1 < 0 < b_2$. При $b_2 = -b_1 =1$ эта система эквивалентна одномерной системе Дирака. Наша цель - получение асимптотического разложения характеристического определителя граничной задачи, ассоциированной с приведенным выше уравнением с общими двухточечными граничными условиями. Из этого разложения непосредственно вытекает новый результат о полноте системы корневых функций указанной граничной задачи с нерегулярными граничными условиями. Библ. - 33 назв.

The paper is concerned with the asymptotic expansion of solutions to the following $2 \times 2$ Dirac type system $ L y = -i B^{-1} y' + Q(x) y = \lambda y,\quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 00 & b_2 \end{pmatrix},\quad y= \mathrm{col}(y_1, y_2), $ with a smooth matrix potential $Q \in W_1^n[0,1] \otimes \mathbb{C}^{2 \times 2}$ and $b_1 < 0 < b_2$. If $b_2 = -b_1 =1$, this equation is equivalent to the one-dimensional Dirac equation. These formulas are applied to get an asymptotic expansion of the characteristic determinant of the boundary value problem associated with the above equation subject to the general two-point boundary conditions. This expansion directly yields a new completeness result for the system of root functions of such a boundary-value problem with nonregular boundary conditions.