Torsion problem: stress statement and solution by the boundary element method

The formulation of the problem of torsion regarding stresses and its solution by the boundary elements method are described. The main advantage of the problem formulation in stresses is direct determination of stresses in the cross-section, unlike the classical formulation, when the result of the approximate solution is the Prandtl stress function values, and the determination of stresses is brought down to numerical differentiation. The boundary integral equation of the second kind is obtained to formulate the problem with respect to stresses. The procedure for solving the problem by the boundary elements method is described, the system of solving equations is compiled. Solutions of test problems on torsion of rods with rectangular and channel cross-sections are presented. Comparison of the calculation results with known analytical solutions illustrates the reliability and permissible engineering accuracy of the obtained solutions.

Приводится постановка задачи о кручении относительно напряжений и ее решение методом граничных элементов. Основным достоинством данной постановки задачи является непосредственное определение напряжений в сечении, в отличие от классической постановки, где результатом приближенного решения являются значения функции напряжений Прандтля, а определение напряжений сводится к численному дифференцированию. Для постановки задачи относительно напряжений получено граничное интегральное уравнение второго рода. Описана процедура решения задачи методом граничных элементов, составлена система разрешающих уравнений. Представлены решения тестовых задач о кручении стержней прямоугольного и швеллерного сечений. Сопоставление результатов расчета с известными аналитическими решениями иллюстрирует достоверность и допустимую инженерную точность полученных решений.