Construction, stochastization and computer study of dynamic population models “two competitors - two migration areas”

When studying deterministic and stochastic population models, the actual problems are the formalization of processes, taking into account new effects caused by the interaction of species, and the development of computer research methods. Computer research methods make it possible to analyze the trajectories of multidimensional population systems. We consider the “two competitors - two migration areas” model, which takes into account intraspecific and interspecific competition in two populations, as well as bidirectional migration of both populations. For this model, we take into account the variability of the reproduction rates of species. A formalized description of the four-dimensional model “two competitors - two migration areas” and its modifications is proposed. Using the implementation of the evolutionary algorithm, a set of parameters is obtained that ensure the coexistence of populations under conditions of competition between two species in the main area, taking into account the migration of these species. Taking into account the obtained set of parameters, a positive stationary state is found. Two-dimensional and three-dimensional projections of phase portraits are constructed. Stochastization of the model “two competitors - two migration areas” is carried out based on the method of self-consistent one-step models constructing. The Fokker-Planck equations are used to describe the structure of the model. A transition to a four-dimensional stochastic differential equation in the Langevin form is performed. To carry out numerical experiments, a specialized software package is used to construct and study stochastic models, and a computer program based on differential evolution is developed. Algorithms for generating trajectories of the Wiener process and multipoint distributions and modifications of the Runge-Kutta method are used. In the deterministic and stochastic cases, the dynamics of the trajectories of populationmigration systems is studied. A comparative analysis of deterministic and stochastic models is carried out. The results can be used in modeling of different classes of dynamic systems.

При изучении детерминированных и стохастических популяционных моделей актуальными задачами являются формализация процессов с учётом новых эффектов, обусловленных взаимодействием видов, и развитие компьютерных методов исследования. Компьютерные методы исследования позволяют выполнить анализ траекторий многомерных популяционных систем. Мы рассматриваем модель «два конкурента - два ареала миграции», в которой учитывается внутривидовая и межвидовая конкуренция в двух популяциях, а также двунаправленная миграция обеих популяций. Для указанной модели мы учитываем вариативность параметров естественного воспроизводства видов. Предложено формализованное описание четырёхмерной модели «два конкурента - два ареала миграции» и её модификаций. С помощью реализации эволюционного алгоритма получен набор параметров, обеспечивающих сосуществование популяций в условиях конкуренции двух видов в основном ареале с учётом миграции этих видов. Исходя из полученного набора параметров найдено положительное состояние равновесия. Построены двумерные и трёхмерные проекции фазовых портретов. Осуществлена стохастизация модели «два конкурента - два ареала миграции» на основе метода построения самосогласованных одношаговых моделей. Для описания структуры модели использованы уравнения Фоккера-Планка. Выполнен переход к четырёхмерному стохастическому дифференциальному уравнению в форме Ланжевена. Для проведения численных экспериментов использован специализированный программный комплекс, предназначенный для построения и изучения стохастических моделей, а также разработана компьютерная программа на основе дифференциальной эволюции. Использованы алгоритмы генерирования траекторий винеровского процесса и многоточечных распределений и модификации метода Рунге-Кутты. В детерминированном и стохастическом случаях изучена динамика траекторий популяционно-миграционных систем. Проведён сравнительный анализ детерминированных и стохастических моделей. Результаты могут найти применение в задачах моделирования популяционных, экономических, демографических и химических систем.