Итерационный метод уточненного решения задач теории упругости тонкостенных тел

В работе предложен итерационный метод интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при решении задач теории упругости на основе полуобратного метода Сен-Венана с использованием малого параметра. Строго выполняются граничные условия на всех сторонах. Для интегрирования уравнений первого порядка используется оператор Пикара. В отличие от классических методов, основанных на гипотезах и допущениях, существенно упрощающих теорию упругости и ведущих к потере части решений, создан универсальный подход, применимый к различным упругим телам, таким как стержень, полоса, пластина и оболочка. Наиболее общий случай задачи является трехмерным, решение удовлетворяет всем соотношениям теории упругости. Впервые получены как быстро, так и медленно меняющиеся компоненты решения, основанные на выполнении граничных условий на длинных краях полос, пластин и оболочек, часть из которых были потеряны в классической теории. Интегралы сингулярно возмущенных уравнений для быстро меняющихся величин используются для построения непрерывных решений по продольной координате по Фридрихсу. Решения сингулярно возмущенных уравнений описывают концентрацию напряжений обобщенными функциями. Сходимость итерационного процесса, реализующего метод простых итераций,обоснована при помощи принципа сжатых отображений и теоремы Банаха. В статье приведены основные соображения и выкладки для реализации универсального подхода для полосы, пластины и оболочки, основанные на проведенных исследованиях автора, дано обобщение и обзор полученных результатов. Перспективы для внедрения метода включают в себя широкий круг задач теории упругости, решение которых классическими методами затруднено вследствие вычислительных сложностей или дает результаты, не вполне пригодные для использования на практике или плохо согласующиеся с экспериментом.

An Iterative Method for the Refined Solution of Problems in the Theory of Elasticity of Thin-Walled Bodies

The paper proposes an iterative method for integrating partial differential equations arising in solving problems of elasticity theory based on the semi-inverse Saint-Venant method using a small parameter. The boundary conditions on all sides are strictly fulfilled. The Picard operator is used to integrate first-order equations. Unlike classical methods based on hypotheses and assumptions that significantly simplify the theory of elasticity and lead to the loss of part of the solutions, a universal approach has been created that is applicable to various elastic bodies, such as a rod, strip, plate and shell. The most general case of the problem is three-dimensional, the solution satisfies all the relations of the theory of elasticity. For the first time, both rapidly and slowly changing components of the solution based on the fulfillment of boundary conditions on the long edges of strips, plates and shells, some of which were lost in the classical theory, were obtained. Integrals of singularly perturbed equations for rapidly changing quantities are used to construct continuous solutions for the longitudinal Friedrichs coordinate. Solutions of singularly perturbed equations describe stress concentration by generalized functions. The convergence of the iterative process implementing the method of simple iterations is justified using the principle of compressed maps and Banach's theorem. The article presents the main considerations and calculations for the implementation of a universal approach for the strip, plate and shell, based on the author's research, a generalization and an overview of the results obtained. Prospects for the implementation of the method include a wide range of problems in the theory of elasticity, the solution of which by classical methods is difficult due to computational difficulties or gives results that are not quite suitable for use in practice or poorly consistent with the experiment.