Поверхности конгруэнтных сечений на цилиндрах

Введение. До появления работы И.И. Котова не было определения поверхностей конгруэнтных сечений. Эти и некоторые другие поверхности, образованные движением жесткой кривой, входили в класс кинематических поверхностей. Такие кинематические поверхности, как поверхности плоскопараллельного переноса, поверхности вращения, резные поверхности Монжа, циклические поверхности с образующей окружностью постоянного радиуса, ротативные и спироидальные поверхности, винтовые и часть винтообразных поверхностей, могут быть включены и в класс поверхностей конгруэнтных сечений. Материалы и методы. Авторы, следуя методике И.И. Котова, впервые получили параметрические и векторные уравнения восьми поверхностей конгруэнтных сечений маятникового типа на круговом, эллиптическом и параболическом цилиндрах, а также нескольких винтообразных поверхностей. За образующие плоские кривые принимаются эллипсы и параболы, которые могут быть расположены в плоскости образующей кривой направляющего цилиндра или в плоскостях пучка, проходящих через продольную ось цилиндра. Эллипсы, рассматриваемые в статье, легко могут быть переведены в окружности, что еще больше расширяет круг возможных рассматриваемых форм. Результаты. Формулы приведены в обобщенном виде, поэтому форма плоской образующей кривой может быть произвольной. Некоторые поверхности конгруэнтных сечений заданы двумя разновидностями параметрических уравнений. В одном случае за независимый параметр в параметрических уравнениях принимается центральный угол направляющей цилиндрической поверхности, а в другом -- одна из прямоугольных координат направляющей кривой цилиндра. Рассматриваются два типа поверхностей: когда местные оси образующих кривых остаются параллельными при движении и когда они поворачиваются. Выводы. На основе анализа использованной литературы и полученных результатов даны предложения и рекомендации по применению поверхностей конгруэнтных сечений в архитектуре и технике. Приведенная библиография из 27 наименований показывает, что рассматриваемые поверхности находятся в поле зрения архитекторов, инженеров и геометров как в России, так и за рубежом.

Introduction. The definition of surfaces of congruent sections was first formulated in the work written by I.I. Kotov. These and several other types of surfaces, generated by the motion of a curve, belonged to the class of kinematic surfaces. Such kinematic surfaces as those of plane parallel displacement, surfaces of rotation, Monge surfaces, cyclic surfaces with generating circles having constant radius, rotative and spiroidal surfaces, helical some helix-shaped surfaces can be included into the class of surfaces that have congruent sections. Materials and methods. Using I.I. Kotov’s methodology, the authors first derived parametrical and vector equations for eight surfaces of congruent pendulum type cross sections of circular, elliptic, and parabolic cylinders and several helix-shaped surfaces. Circles, ellipses, and parabolas, located in the plane of the generating curve of a guiding cylinder or in the planes of a bundle that passes through the longitudinal axis of a cylinder, generate plane curves. Ellipses, analyzed in the article, can be easily converted into circles and this procedure can increase the number of shapes analyzed here. Results. Formulas are provided in the generalized form, so the shape of a plane generating curve can be arbitrary. Some surfaces of congruent sections are determined by two varieties of parametric equations. In one case, the central angle of the guiding cylindrical surface was used as an independent parameter, but in the other case, one of rectangular coordinates of the cylinder’s guiding curve served as an independent parameter. Two types of surfaces are analyzed: 1) when local axes of generating curves remain parallel in motion; 2) when these axes rotate. Conclusions. The analysis of the sources and the results, recommendations and proposals for application of surfaces, having congruent sections, is made with a view to their use in architecture and technology. The list of references has 27 positions, and it shows that the surfaces considered in this paper are being analyzed by architects, engineers, and geometricians both in Russia and abroad.