Применение байесовского вывода для калибровки параметров модели локальной волатильности

Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) являются важным математическим инструментом для описания сложных, подверженных колебаниям систем, в которых шум играет существенную роль. В частности, благодаря своей способности отражать неопределённость в поведении системы, они снискали популярность в современной теории финансов, где применяются для моделирования многих ключевых показателей: краткосрочной процентной ставки, стоимости активов, их доходности и волатильности. Как следствие, значительное внимание уделяется и обратной задаче - оценке параметров СДУ по дискретной выборке данных. В данной работе рассматривается задача калибровки параметров модели локальной волатильности - известного обобщения модели Блэка-Шоулза, в котором волатильность зависит от времени и цены базисного актива - посредством байесовского вывода. Для численного решения СДУ используется метод Эйлера-Маруямы, а для семплирования апостериорного распределения - методы Монте-Карло с марковскими цепями. Описанный подход применяется для определения параметров модели ценообразования акций ПАО Сбербанк на основании данных об их курсе за последние несколько лет. В заключение проводится обсуждение полученных результатов - в том числе качества построенной модели.

Applying Bayesian inference to calibrate local volatility model parameters

Stochastic differential equations (SDE) are considered an important mathematical tool for describing complex, fluctuation-prone systems, in which a significant role is played by noise. Particularly, due to their ability to represent the uncertainty in system's behaviour, they gained popularity in modern finance theory, where they are applied in modelling key financial variables such as short-term interest rate, asset prices, their returns and volatility. Consequently, a considerable attention is paid to the inverse problem, i.e. SDE parameter estimation from discrete-sampled data. This study concerns a problem of parameter calibration for local volatility model - a well-known generalization of Black-Scholes-Merton model, where volatility depends on time and underlying asset price - by the means of Bayesian inference. The numerical solution of SDE is conducted through the Euler-Maruyama method, and Markov chain Monte Carlo methods are employed to sample from the posterior distribution. The presented approach is applied to estimate the parameters of the PJSC Sberbank asset pricing model based on their price data for the last few years. In conclusion, the results of the study - the performance of the introduced model among them - are discussed.