Численное решение обратной задачи ньютоновского потенциала для тел постоянной толщины с данными на плоскости

В докладе рассматривается обратная задача восстановления плотности ньютоновского потенциала по данным о потенциале на плоскости. В работе принята модель потенциала в цилиндре прямоугольного сечения с однородными условиями первого рода на боковых гранях цилиндра. Такая модель потенциала соответствует нечётно-периодической функции плотности потенциала во всем пространстве и потенциал в этом случае может быть представлен в виде равномерно сходящегося ряда Фурье по собственным функциям оператора Лапласа первой краевой задачи в прямоугольной области - сечении цилиндра. При постановке обратной задачи потенциал задаётся на плоскости (прямоугольнике), ограничивающем, цилиндрическую область. Функция плотности потенциала соответствует телу постоянной толщины (включая бесконечно тонкое тело). Обратная задача сводится к интегральному уравнению первого рода, представляющему собой некорректно поставленную задачу. Приближенное решение, устойчивое к погрешностям в данных о потенциале, строится как экстремаль функционала Тихонова. Экстремаль получена как решение уравнения Эйлера для функционала Тихонова в виде двойного ряда Фурье. Для численного решения задачи после проведения дискретизации задачи при суммировании двойных дискретных рядов Фурье использован метод Хемминга, позволяющий оптимизировать количество арифметических операций. Полученные на модельных примерах численные результаты по восстановлению носителя функции плотности распределения источников подтверждают эффективность предлагаемого метода решения обратной задачи, и этот метод может быть использован при решении обратных задач геофизики.

Numerical solution of the inverse Newtonian potential problem for bodies of constant thickness with data on the plane

The paper deals with the inverse problem of reconstructing the density of the Newtonian potential from the data on the potential on the plane. In this paper, a model of the potential in a cylinder of rectangular cross-section with homogeneous conditions of the first kind on the side faces of the cylinder is adopted. Such a potential model corresponds to an odd-periodic function of the potential density in the entire space, and the potential in this case can be represented as a uniformly convergent Fourier series with respect to the eigenfunctions of the Laplace operator of the first boundary value problem in a rectangular region - the section of the cylinder. In the formulation of the inverse problem, the potential is given on a plane (rectangle) bounding a cylindrical region. The potential density function corresponds to a body of constant thickness (including an infinitely thin body). The inverse problem is reduced to an integral equation of the first kind, which is an ill-posed problem. An approximate solution that is resistant to errors in the potential data is constructed as an extremal of the Tikhonov functional. The extremal is obtained as a solution of the Euler equation for the Tikhonov functional in the form of a double Fourier series. For the numerical solution of the problem after the discretization of the problem when summing double discrete Fourier series, the Hamming method is used, which allows optimizing the number of arithmetic operations. The numerical results obtained on the model examples for restoring the carrier of the source density distribution function confirm the effectiveness of the proposed method for solving the inverse problem, and this method can be used for solving inverse problems of geophysics.