Спектральная теория операторных мер в гильбертовом пространстве

В §2 решена задача М. Г. Крейна об описании пространства L2(Σ,H). В §3 мы иллюстрируем технику операторных мер на примерах унитарных дилатаций. В частности, получено простое доказательство теоремы Наймарка о дилатации, причем дана явная конструкция разложения единицы. В §4 введена функция кратности NΣ произвольной (неортогональной) операторной меры в H. С помощью теоремы об описании пространства L2(Σ,H) устанавливается корректность этого определения. Здесь же дополняется известная теорема Наймарка о дилатации: найден критерий того, что ортогональная мера E унитарно эквивалентна минимальной (ортогональной) дилатации меры Σ. В §5 доказана массивность множества ΩΣ главных векторов произвольной операторной меры Σ в H, т.е. что ΩΣ – всюду плотное в H множество типа Gδ. В частности, доказана массивность множества главных векторов в каждом циклическом подпространстве самосопряженного оператора. В §6 введены типы Хеллингера произвольной операторной меры и доказано существование (и массивность множества) подпространств, их реализующих. В §7 изучается модель симметрического оператора в пространстве L2(Σ,H).