Оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением

Рассматривается дифференциально-разностное уравнения второго порядка в ограниченной области Q ⊂ Rn. Предполагается, что дифференциально-разностный оператор содержит несколько разностных операторов с вырождением, соответствующих операторам дифференцирования. Кроме того, рассматриваемый дифференциально-разностный оператор нельзя представить в виде композиции разностного оператора и сильно эллиптического дифференциального оператора. Наличие вырожденных разностных операторов не позволяет получить неравенство Гординга. В работе получены априорные оценки, из которых следует секториальность, а также существование фридрихсова расширения рассматриваемого дифференциально-разностного оператора. Полученные оценки могут быть применены для исследования спектра фридрихсова расширения. Известно, что эллиптические дифференциально-разностные уравнения могут иметь решения, не принадлежащие даже пространству Соболева W 1(Q). Однако, опираясь на полученные оценки, можно доказать определенную гладкость решений, но не во всей области Q, а в некоторых подобластях Qr , порожденных сдвигами границы, где U Qr = Q.

ESTIMATES OF SOLUTIONS OF ELLIPTIC DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS WITH DEGENERATION

We consider a second-order differential-difference equation in a bounded domain Q ⊂ Rn. We assume that the differential-difference operator contains some difference operators with degeneration corresponding to differentiation operators. Moreover, the differential-difference operator under consideration cannot be expressed as a composition of a difference operator and a strongly elliptic differential operator. Degenerated difference operators do not allow us to obtain the G˚arding inequality. We prove a priori estimates from which it follows that the differential-difference operator under consideration is sectorial and its Friedrichs extension exists. These estimates can be applied to study the spectrum of the Friedrichs extension as well. It is well known that elliptic differential-difference equations may have solutions that do not belong even to the Sobolev space W 1(Q). However, using the obtained estimates, we can prove some smoothness of solutions, though not in the whole domain Q, but inside some subdomains Qr generated by the shifts of the boundary, where U Qr = Q.