Гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений

Данная статья посвящена изучению качественных свойств решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Ранее были получены результаты о существовании обобщенных решений рассматриваемых задач и доказано, что гладкость этих решений сохраняется в некоторых подобластях, но может нарушаться на их границах даже для бесконечно гладкой функции правой части. Для случая дифференциальноразностных уравнений, рассматриваемых на отрезке, с непрерывными правыми частями и краевыми условиями первого, второго и третьего рода автором были получены условия на коэффициенты разностных операторов, при выполнении которых существует классическое решение задачи, совпадающее с обобщенным. Кроме того, для задачи Дирихле для сильно эллиптического дифференциальноразностного уравнения получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости обобщенного решения в пространствах Гельдера на границе соседних подобластей. Гладкость решений внутри некоторых подобластей за исключением ε -окрестностей угловых точек была также доказана ранее. Однако проблема гладкости обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений оставалась неисследованной. В данной работе для того, чтобы повысить в шкале пространств Соболева гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения внутри подобластей, применен подход, использующий метод аппроксимации оператора дифференцирования конечноразностными операторами и доказана соответствующая теорема.

Smoothness of Generalized Solutions of the Second and Third Boundary-Value Problems for Strongly Elliptic Differential-Difference Equations

In this paper, we investigate qualitative properties of solutions of boundary-value problems for strongly elliptic differential-difference equations. Earlier results establish the existence of generalized solutions of these problems. It was proved that smoothness of such solutions is preserved in some subdomains but can be violated on their boundaries even for infinitely smooth function on the right-hand side. For differential-difference equations on a segment with continuous right-hand sides and boundary conditions of the first, second, or the third kind, earlier we had obtained conditions on the coefficients of difference operators under which there is a classical solution of the problem that coincides with its generalized solution. Also, for the Dirichlet problem for strongly elliptic differential-difference equations, the necessary and sufficient conditions for smoothness of the generalized solution in Holder spaces on the boundaries between subdomains were obtained. The smoothness of solutions inside some subdomains except for ε-neighborhoods of angular points was established earlier as well. However, the problem of smoothness of generalized solutions of the second and the third boundary-value problems for strongly elliptic differential-difference equations remained uninvestigated. In this paper, we use approximation of the differential operator by finite-difference operators in order to increase the smoothness of generalized solutions of the second and the third boundary-value problems for strongly elliptic differential-difference equations in the scale of Sobolev spaces inside subdomains. We prove the corresponding theorem.