Об алгебраической эквивалентности рядов Тейлора-Маклорена и "универсального ряда" И. Бернулли

Впервые вопрос об эквивалентности рядов И. Бернулли и Тейлора рассматривался в 1716 г. после известной публикации Тейлора в 1715 г., и их эквивалентность уже тогда не вызывала сомнений. Подробное исследование о ряде И. Бернулли опубликовал Н.Я. Сонин в 1897 г. Важной в его работе является постановка вопроса об истоках формулы Тейлора. Н.Я. Сонин считал, что это ряд И. Бернулли, а Бертран, что это бином Ньютона. В работе предлагается искать ответ на этот вопрос в алгебре A _F ( P _s ) - алгебре всех линейных отображений пространства полиномов от s формальных образующих над произвольном полем F характеристики ноль в себя. Элементы этой алгебры представляются некоммутативными рядами по степеням операторов дифференцирования с полиномиальными коэффициентами от операторов умножения на переменную над полем F . Тогда ряды И. Бернулли, Тейлора, Маклорена и другие эквивалентны, и их можно интерпретировать как алгебраические равенства в A _F ( P _s ).

At first the issue of the equivalence between the Taylor series and the J. Bernoulli «series universalissima» was discussed in 1716 after the well-known publication of Taylor in 1715, and their equivalence was not in doubt even then. A detailed study of I. Bernoulli series N.Ya. Sonin published in 1897. An important part of his work is the issue formulation of the origins of the Taylor formula. N.Ya. Sonin believed that it was J. Bernoulli’s series, and Bertrand was of an opinion that it was Newton’s binomial. The paper proposes to search for the answer to that question in the algebra A _F ( P _s ), the algebra of all linear mappings of the space of polynomials in S formal generators over an arbitrary field F of characteristic zero into itself. Elements of that algebra are represented by non-commutative series in powers of differentiation operators with polynomial coefficients of the operators of multiplication by a variable over the field F . Then the series of J. Bernoulli, Taylor, Maclaurin and others are equivalent and can be interpreted as algebraic equalities in A _F ( P _s ).