Гладкость обобщенных решений задачи Неймана для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластей

Данная статья посвящена изучению качественных свойств решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Для рассматриваемых задач ранее были получены результаты о существовании обобщенных решений и доказано, что гладкость этих решений сохраняется в некоторых подобластях, но может нарушаться внутри области даже для бесконечно гладкой функции в правой части уравнения. Подобласти здесь определяются как связные компоненты множества, полученного из области Q выбрасыванием всевозможных сдвигов границы ∂Q на векторы некоторой группы, порожденной сдвигами, входящими в разностные операторы. Для случая дифференциально-разностных уравнений, рассматриваемых на отрезке с краевыми условиями второго рода, автором были получены условия на коэффициенты разностных операторов, при выполнении которых для любойнепрерывной функции в правойчасти уравнения существует классическое решение задачи, совпадающее с обобщенным. Гладкость решенийвторой краевой задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравненийвнутри некоторых подобластей, за исключением ε-окрестностейугловых точек, в шкале пространств Соболева W ₂ ^k была также исследована автором ранее. Однако проблема гладкости обобщенных решений второй краевой задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравненийна границе соседних подобластей оставалась неисследованной. Настоящая работа посвящена изучению этого вопроса в шкале пространств Гельдера. Будут получены необходимые и достаточные условия на коэффициенты разностных операторов, гарантирующие сохранение гладкости обобщенного решения на границе соседних подобластей для любой функции в правой части уравнения из пространства Гельдера.

SMOOTHNESS OF GENERALIZED SOLUTIONS OF THE NEUMANN PROBLEM FOR A STRONGLY ELLIPTIC DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATION ON THE BOUNDARY OF ADJACENT SUBDOMAINS

This paper is devoted to the study of the qualitative properties of solutions to boundary-value problems for strongly elliptic differential-difference equations. Some results for these equations such as existence and smoothness of generalized solutions in certain subdomains of Q were obtained earlier. Nevertheless, the smoothness of generalized solutions of such problems can be violated near the boundary of these subdomains even for infinitely differentiable right-hand side. The subdomains are defined as connected components of the set that is obtained from the domain Q by throwing out all possible shifts of the boundary ∂Q by vectors of a certain group generated by shifts occurring in the difference operators. For the one dimensional Neumann problem for differential-difference equations there were obtained conditions on the coefficients of difference operators, under which for any continuous right-hand side there is a classical solution of the problem that coincides with the generalized solution. Also there was obtained the smoothness (in Sobolev spaces W₂^k ) of generalized solutions of the second and the third boundary-value problems for strongly elliptic differential-difference equations in subdomains excluding ε-neighborhoods of certain points. However, the smoothness (in Ho¨ lder spaces) of generalized solutions of the second boundary-value problem for strongly elliptic differential-difference equations on the boundary of adjacent subdomains was not considered. In this paper, we study this question in Ho¨ lder spaces. We establish necessary and sufficient conditions for the coefficients of difference operators that guarantee smoothness of the generalized solution on the boundary of adjacent subdomains for any right-hand side from the Ho¨ lder space.