Взрывная неустойчивость в нелинейных волновых моделях с распределенными параметрами

В работе рассматриваются два модельных нелинейных уравнения. Эти уравнения описывают электрические колебания в системах с распределенными параметрами на основе диодов с нелинейными характеристиками. Для этих уравнений получены эквивалентные интегральные уравнения для классических решений\r\nзадач Коши, первой и второй начально-краевых задач в полупространстве $x>0$. Методом сжимающих отображений доказана локальная во времени разрешимость рассматриваемых задач. Для одного из уравнений методом нелинейной емкости С. И. Похожаева выведены априорные оценки, из которых вытекают результаты о разрушении решений за конечное время, и получены оценки сверху на это время. Для другого уравнения модифицированным методом Х. А. Левина получены достаточные условия blow-up для достаточно больших начальных данных и получена оценка снизу на характер разрушения для некоторого функционала, имеющего смысл энергии. Кроме того, получена оценка сверху на время разрушения.Библиография: 31 наименование.

We consider two model non-linear equations describing electric oscillations in systems with distributed\r\nparameters on the basis of diodes with non-linear characteristics. We obtain equivalent integral equations for\r\nclassical solutions of the Cauchy problem and the first and second initial-boundary value problems\r\nfor the original equations in the\r\nhalf-space $x>0$. Using the contraction mapping principle, we prove the local-in-time\r\nsolubility of these problems. \r\nFor one of these equations, we use the Pokhozhaev method of non-linear capacity\r\nto deduce a priori bounds giving rise to finite-time blow-up results and obtain upper bounds for the blow-up\r\ntime. For the other, we use the modification of Levine's method to obtain sufficient conditions for blow-up\r\nin the case of sufficiently large initial data and give a lower bound for the order of growth of a functional\r\nwith the meaning of energy. We also obtain an upper bound for the blow-up time.