Данная статья посвящена отсутствию глобальных решений квазилинейных обратных параболических уравнений для оператора p-Лапласа: ut = −div Dup−2Du + uq−1u, x,t ∈ Ω × (0,∞) с граничным условием Дирихле u = 0 на границе ∂Ω × (0,∞) и интегрируемой начальной функцией u(x,0) = u0(x), где Ω является гладко ограниченной областью в ℝN. Мы также рассмотрим эту задачу в случае Ω = ℝN. Проблема анализируется с использованием метода пробных функций, разработанного Э. Л. Митидиери и С. И. Похожаевым [Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Тр. МИАН. - М.: Наука, 2001. - Т. 234, No 3. - 362 с.]. Он основан на получении априорных оценок для решений путём алгебраического анализа интегральной формы неравенства с оптимальным выбором пробных функций. С помощью этого метода мы получаем условия отсутствия решений, основанные на слабой постановке задачи с пробными функциями вида φ(x,t) = ±u±(x,t) + εδφR(x,t)при ε > 0,δ > 0, где u+ и u− являются положительной и отрицательной частями решения u задачи, а φR - стандартная срезающая функция, носитель которой зависит от параметра R > 0.
This paper deals with the nonexistence of global solutions of quasi-linear backward parabolic equations for p-Laplacian operators: ut = −div Dup−2Du + uq−1u, x,t ∈ Ω × (0,∞) with the Dirichlet boundary condition u = 0 on the boundary ∂Ω × (0,∞) and a bounded integrable initial function u(x,0) = u0(x), where Ω is a smoothly bounded domain in ℝN. We also consider this problem in the case of Ω = ℝN. The problem is analyzed using the test function method, developed by E. L. Mitidieri and S. I. Pohozaev [Mitidieri E., Pohozaev S. I. A Priory Estimates and the Absence of Solutions of Non- linear Partial Differential Equations and Inequalities // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2001. - Vol. 234, No 3. - 362 p. - (in russian).] It is based on deriving a priory estimates for solutions by an algebraic analysis of the integral form of inequalities with an optimal choice of test functions. With the help of this method, we obtain the nonexistence conditions based on the weak formulation of the problem with test functions of the form: φ(x,t) = ±u±(x,t) + εδφR(x,t),for ε > 0,δ > 0, where u+ and u− are the positive and negative parts of the solution u of the problem respectively and φR is a standard cut-off function whose support depends on a parameter R > 0.