О замыкании пространственных моментов в биологической модели, и интегральных уравнениях, к которым оно приводит

Настоящая статья посвящена математической постановке и численному исследованию пространственной модели стационарных биологических сообществ У. Дикмана и Р. Лоу. Главная идея данной модели состоит в том, чтобы найти «проекцию» симулируемого биологического процес-са на некоторые характеристики, динамика которых может быть выписана аналитически. В качестве таких «характеристик» в модели Дикмана и Лоу выступают, так называемые «пространственные моменты» Выписывается система интегро-дифференциальных уравнений, опи-сывающая пространственную динамику в этой модели. Ставится проблема замыкания третьего пространственно-го момента, избавляющая систему от бесконечного числа уравнений. Выписываются примеры замыканий третьего момента, два из которых, так называемые ассиметричное и симметричное замыкания второй степени, изучаются более подробно. Ставится задача с линейным интегральным уравнением равновесия, которая получается при использовании ассиметричного замыкания. Объясняются недостатки полученной модели, в связи с её биологической интерпретацией, а также с применением этого замыкания при изучении двухвидовой модели. Далее формулируется нелинейная проблема, возникающая при использовании симметричного параметрического замыкания второй степени, проводится её численное исследование. Показывается её правомерность, в том числе и в двухвидовой модели

On the closure of spatial moments in the biolog-ical model, and the integral equations to which it leads

This article is devoted to the mathematical formulation and numerical study of the spatial model of stationary biological communities by U. Dickman and R. Low. The main idea of this model is to find a "projection" of the simulated biological process on certain characteristics, the dynamics of which can be written analytically. Such "characteristics" in the Dickman’ and Low’s model are the so-called "spatial moments". A system of integro-differential equations is described describing the spatial dynamics in this model. The problem of moment’s closure of the third spatial moment, which relieves the system of an infinite number of equations is posed. Examples of closures of the third moment are written out, two of which, the so-called asymmetric and symmetric closures of the second degree, are studied in more detail. The problem is posed with a linear integral equilibrium’s equation, which is obtained by using an asymmetric closure. The shortcomings of the obtained model are explained, in connection with its biological interpretation, and also with the application of this closure in the study of the two-species model. Next, we formulate a nonlinear problem that arises when a symmetric parametric closure of the second degree is used, and its numerical study is carried out. Its legitimacy is shown, including in the two-species model.