Исследование потенциального течения жидкости в пористой среде с учетом закона дарси и переменного коэффициента диффузии

Рассмотрено потенциальное течение жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и различных видов коэффициента поперечной диффузии в трубе радиуса a. Течение предполагается стационарным и аксиально симметричным, при этом считается, что сила Дарси является линейной функцией скорости. Установлено, что следствием потенциальности течения является тождество ∂2P∕∂r∂z ≡ ∂2P∕∂z∂r, где ∂P∕∂r и ∂P∕∂z определяются из уравнений Эйлера для двух компонент скорости: vr = ∂Φ∕∂r и vz = ∂Φ∕∂z, где Φ(r,z) — потенциал скорости. Это значит, что система уравнений Эйлера является вполне совместной и вполне интегрируемой и решение задачи сводится к решению уравнения непрерывности. Уравнение непрерывности является линейным дифференциальным уравнением для потенциала Φ(r,z) и допускает решение в разделённых переменных: Φ(r,z) = U(r)W(z). Для U(z) получено уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение зависит от аргумента kr, где постоянная k определяется радиусом трубы a. Для W(z) получено три различных уравнения в зависимости от выбора коэффициента диффузии в уравнении непрерывности. Во всех случаях получено точное решение и установлено, что компонента скорости vz(r,z) экспоненциально убывает при возрастании z.

Investigation of Potential Flow of Fluid in Porous Medium Taking Account of Darcy Law and Variable Diffusion Coefficient

We have considered the potential flow of the fluid in the porous medium taking into account Darcy low and different types of the diffusion coefficient in a tube with radius a. The flow is supposed to be stationary and cylindrically-symmetric and the Darcy force is a linear function of the velocity. We have established that a result of the potential flow is identity ∂2P∕∂r∂z ≡ ∂2P∕∂z∂r, where ∂P∕∂r and vz = ∂Φ∕∂z are defined from Euler equation for two components of the velocity: vr = ∂Φ∕∂r and vz = ∂Φ∕∂z, where Φ(r,z) is velocity potential. It means that Euler equation system is compatible and integrable, and the solution is reduced to the solution of the continuity equation. Continuity equation is linear differential equation for the potential Φ(r,z) and one assumes solution in divided variable: Φ(r,z) = U(r)W(z). For U(z) we have Bessel equation of zero order. This solution depends on the choice of the diffusion coefficient in the continuity equation. In all the occasions we have exact solution and established that component of the velocity vz descreases like exponent with increase of z.