Derivation of fully computable error bounds from a posteriori error identities

A posteriori error identities are functional relations that control distances between the exact solution of a boundary value problem and any function from the respective energy space. They have been derived for many boundary value problems associated with partial differential equations of elliptic and parabolic types. A posteriori identities have a common structure: their left hand sides form certain error measures and the right hand ones consist of directly computable terms and a linear functional, which contains unknown error function. Fully computable estimates follow from such an identity provided that this functional is efficiently estimated. The difficulty that arises is due to the fact that computational simplicity and efficiency of such an estimate are contradictory requirements. A method suggested in the paper, largely overcomes this difficulty. It uses an auxiliary finite dimensional problem to estimate the linear functional containing unknown error function. The resulting estimates minimise possible overestimation of this term and imply sharp and fully computable majorants and minorants of errors.

Апостериорные тождества - это функциональные соотношения, которые контролируют расстояния между точным решением задачи и любой функцией из соответствующего энергетическое пространства. Они были получены для многих краевых задач, связанных с уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типа. Апостериорные тождества имеют единообразную структурн: левая часть образует определенную меру ошибки а правая содержит явно вычисляемые члены и линейный функционал, который является произведением известной величины и неизвестной функции ошибки. Из такого тождества следуют полностью вычисляемые оценки при условии, что этот функционал оценивается подходящим способом. Трудность связана с тем, что полная вычисляемость и эффективность (точность) такой оценки - противоречивые требования. Поэтому, правильный метод оценки должен быть следствием определенного компромисса. Метод, предложенный в статье, во многом преодолевает эту трудность. Он использует вспомогательную конечномерную задачу для \break оценки линейного функционала содержащий неизвестную функцию ошибки. Полученные оценки позволяют минимизировать возможную переоценку величины этого функционала и позволяют получить достаточно точные и полностью вычисляемые мажоранты и миноранты для меры отклонения от решения. Библ. - 26 назв.