Начально-краевые задачи для трехмерного уравнения Захарова-Кузнецова

Рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения Захарова-Кузнецова $u_t + b u_x + \Delta u_x + uu_x = f$ в случае трех пространственных переменных $(x,y,z)$ на области $\mathbb R_+ \times\Omega$, где $\Omega$ - ограниченная область по переменным $(y,z)$ с достаточно гладкой границей. При $t>0$ на левой границе ($x=0$) задано неоднородное условие Дирихле, а на боковой стороне ($(y,z) \in \partial\Omega$) - однородное условие либо Дирихле, либо Неймана. Установлены результаты о существовании глобальных по времени слабых и сильных решений, а также единственности сильных решений. Начальная функция предполагается принадлежащей весовым (на $+\infty$) пространствам $L_2$ в случае слабых решений и $H^1$ в случае сильных решений. В качестве весов допускаются как степенные, так и экспоненциальные функции. В случае краевого условия Дирихле установлено также убывание при больших временах малых решений. Библ. - 27 назв.

Faminskii A. V. Initial-boundary value problems for the three-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation. Initial-boundary value problems are considered for the Zakharov-Kuznetsov equation $u_t + b u_x + \Delta u_x + uu_x = f$ in the case of three spatial variables $(x,y,z)$ posed on a domain $\mathbb R_+ \times\Omega$, where $\Omega$ - is a bounded domain with respect to $(y,z)$ with sufficiently smooth boundary. For $t>0$ on the left boundary $x=0$ the non-homogeneous Dirichlet boundary condition is set, while on $\partial\Omega$ - homogeneous either Dirichlet or Neumann condition. Results on existence of global in time weak and strong solutions, as well as on uniqueness of strong solutions are established. An initial function is assumed to belong to weighted (at $+\infty$) spaces $L_2$ in the case of weak solutions and $H^1$ in the case of strong solutions. Both power and exponential weights are allowed. In the case of Dirichlet boundary condition large-time decay of small solutions is also obtained.