О приближенном решении смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с краевыми условиями второго рода

В работе рассматривается некорректно поставленная смешанная задача для уравнения Лапласа в цилиндрической области прямоугольного сечения с однородными краевыми условиями второго рода на боковых гранях. Условия Коши - значение функции и ее нормальной производной - известны приближённо на заданной поверхности произвольного вида, ограничивающей цилиндр. Другая граница цилиндрической области свободна. В данном случае задача Коши для уравнения Лапласа обладает свойством неустойчивости по отношению к погрешности в данных Коши, т.е. является некорректно поставленной. Для получения устойчивого приближенного решения необходимо применение методов регуляризации. На основе представлений о функции источника исходной задачи, точное решение представляется в виде суммы двух функций, одна из которых явно зависит от условий Коши, вторая может быль получена как решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в виде ряда Фурье по собственным функциям второй краевой задачи для уравнения Лапласа. Для получения приближенного устойчивого решения интегрального уравнения применен метод регуляризации Тихонова, когда решение получается как экстремаль функционала Тихонова. Сходимость приближенного решения задачи доказывается, когда параметр регуляризации сопоставляется с ошибкой в данных.

The paper considers an ill-posed mixed problem for the Laplace equation in a cylindrical domain of rectangular cross-section with homogeneous boundary conditions of the second kind on the side faces. The Cauchy conditions are the value of the function and its normal derivative are known approximately on a given surface of arbitrary shape bounding the cylinder. The other boundary of the cylindrical domain is free. In this case, the Cauchy problem for the Laplace equation has the property of instability with respect to the error in the Cauchy data, i.e. it is ill-posed. To obtain a stable approximate solution, it is necessary to use regularization methods. Based on the concepts of the source function of the original problem, the exact solution is represented as the sum of two functions, one of which clearly depends on the Cauchy conditions, the second can be obtained as a solution to the Fredholm integral equation of the first kind in the form of a Fourier series of eigenfunctions of the second boundary value problem for the Laplace equation. To obtain an approximate stable solution of the integral equation, the Tikhonov regularization method is applied, when the solution is obtained as an extremal of the Tikhonov functional. The convergence of the approximate solution of the problem is proved when the regularization parameter is compared with the error in the data.