О приближенном решении некорректно поставленной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической области с однородными условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра

Рассматривается смешанная по краевым условиям задача для уравнения Лапласа в области, представляющая собой часть цилиндра прямоугольного сечения c однородными краевыми условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра. Цилиндрическая область с одной стороны ограничена поверхностью общего вида, на которой заданы условия Коши, т.е. заданы функция и ее нормальная производная, а другая граница цилиндрической области свободна. В этом случае задача обладает свойством неустойчивости задачи Коши для уравнения Лапласа по отношению к погрешности в данных Коши, т.е. некорректно поставлена, и ее приближенное решение, устойчивое к погрешности в данных Коши, требует применения методов регуляризации. Рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения, полученного в виде ряда Фурье по собственным функциям второй краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике, построено явное представление точного решения поставленной задачи. Устойчивое приближенное решение интегрального уравнения построено методом регуляризации Тихонова. В качестве приближенного решения интегрального уравнения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе приближенного решения интегрального уравнения строится приближенное решение краевой задачи в целом. Доказана теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных.

We consider a problem mixed in boundary conditions for the Laplace equation in a domain that is a part of a cylinder of a rectangular cross-section with homogeneous boundary conditions of the second kind on the side surface of the cylinder. The cylindrical region is limited on one side by surface of a general kind on which the Cauchy conditions are specified, i.e. a function and its normal derivative are given, and the other boundary of the cylindrical region is free. In this case, the problem has the property of instability of the Cauchy problem for the Laplace equation with respect to the error in the Cauchy data, i.e. is ill-posed, and its approximate solution, robust to errors in Cauchy data, requires the use of regularization methods. The problem under consideration is reduced to the Fredholm integral equation of the first kind. Based on the solution of the integral equation obtained in the form of a Fourier series on the eigenfunctions of the second boundary value problem for the Laplace equation in a rectangle, an explicit representation of the exact solution of the problem was constructed. A stable approximate solution to the integral equation was constructed using the Tikhonov regularization method. The extremal of the Tikhonov functional is considered as an approximate solution to the integral equation. Based on the approximate solution of the integral equation, an approximate solution of the boundary value problem as a whole is constructed. A theorem is proved for the convergence of an approximate solution of the problem to the exact one as the error in the Cauchy data tends to zero and the regularization parameter is consistent with the error in the data.