СЛУЧАЙ БЕЗМАССОВОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА И КВАНТОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ КОШИ

Рассматривается фундаментальное решение уравнения Дирака в безмассовом случае. Это решение, представляющее собой известный матричнозначный функционал, приводится к диагональному виду с помощью унитарного и самосопряжённого оператора, и является представлением Фолди-Воутхоузена этой задачи. При этом само решение сводится к двум комплексно-сопряжённым обобщённым функциям. Эти функции, как оказалось, допускают интерпретацию как аналитическое продолжение по времени известной плотности вероятности перехода для вероятностного процесса Коши. При этом координатное представление оказывается обобщённой функцией, поскольку обратное преобразование Фурье не существует в обычном смысле. Сначала координатное представление этой обобщённой функции возникает как аналитический функционал, но существенно (из физических соображений), чтобы оно было бы на пространстве финитных основных функций. Это оказывается возможным только после регуляризации полученного аналитического функционала. Показано, что преобразование Фурье регуляризованного функционала совпадает по структуре с образом Фурье полученного ранее аналитического функционала. Тем самым построено координатное представление Фолди-Воутхоузена в безмассовом случае.

ON MASSLESS DIRAC EQUATION AND THE QUANTUM CAUCHY FUNCTIONAL

The fundamental solution of Dirac equation in massless case is considered. This solution, that is known as matrix-valued functional, is reduced to the diagonal form by unitary and self-adjoint operator transform, the result being Foldy-Wouthuysen representation of the problem. Herewith the problem is reduced to searching two complex-conjugated generalized functions. These functions, as it turned out, can be interpreted as analytic continuation in time of the wellknown transition probability density for the random Cauchy process. Herewith the postion representation turns out to be generalized function, since the inverse Fourier transform does not exist in the usual sense. At first, the position representation of this generalized function appears to be an analytic functional, but it is essentially (for physical reasons) that it lives in the space of bump (finite) test functions. This is possible only after regularizing the obtained analytic functional. It is shown that the Fourier transform of the regularized functional coincides with the Fourier image of the analytic functional obtained earlier. Thereby the position Foldy-Wouthuysen representation in massless case is constructed.