Методика отыскания алгебраических интегралов дифференциальных уравнений первого порядка

В статье рассматривается практическое решение задачи Дебона: для заданного дифференциального уравнения pdx + qdy = 0, где p,q - многочлены из кольца Q[ x,y ], выяснить, имеет ли оно рациональный интеграл, и в случае утвердительного ответа предъявить этот интеграл. В основу предложенного подхода положен метод М.Н. Лагутинского. Теория и ее реализация протестированы на примерах из задачника А.Ф. Филиппова. Проделанные численные эксперименты свидетельствуют, что метода позволяет на практике без особых затрат ресурсов и времени идентифицировать наличие рационального интеграла, однако является весьма затратной как метод вычисления этого интеграла. Обсуждена проблема отыскания верхней грани для порядка интеграла и ее значение для решения дифференциальных уравнений на практике. В заключении даны рекомендации по оптимальному использованию метода М.Н. Лагутинского. Все вычисления выполнены в системе компьютерной алгебры Sage.

The Method of Finding Algebraic Integral for First-order Differential Equations

In the paper, the practical work of the Darboux problem is considered: for a given differential equation ,we need to identify whether it is in the form of rational integral, and if the answer is true, we need to quadrature it. Our work is based on the method of M.N. Lagutinski. The theory and its realization are tested on the problems from Text-Book on Differential Equations by A.F. Filippov. The numerical experiments, which were carried out, show that the method makes it possible to identify the existence of the rational integral without taking much resource and time. However, using the method to calculate integrals is very time-consuming. The problem of finding the upper bound of the integral order and its value for solving differential equations practically are discussed. In the conclusion, how to optimally utilize the method of lagutinski is recommended. All calculations are executed in the computer algebra system Sage.