О полинормах на неассоциативных алгебрах и их возможном применении в физике

В работе доказывается ряд утверждений о неассоциативных алгебрах, квадратичных над своим центром. В частности, доказывается, что в квадратичных алгебрах существует почти точный антиавтоморфизм. Как частный, но широкий класс таких алгебр, вводится понятие алгебр с центральным сопряжением, обобщающее гиперкомплексные алгебры Кэли-Диксона. Доказывается, что альтернативные алгебры с центральным сопряжением обладают мультипликативной нормой степени 2 (вообще говоря, не вещественной). Как следствие, эти алгебры (в частности, бикватернионы и биоктавы) обладают мультипликативной вещественной полинормой, которая может иметь несколько различных, но эквивалентных представлений. Вводится квадроскалярное и квадровекторное произведение. На примере алгебры бикватернионов рассматриваются некоторые возможности для применения полученного аппарата в геометрии и физике. В частности, показывается, что рассмотрение 4-нормы в теории поля делает естественным переход от электродинамики Максвелла к электродинамике Борна-Инфельда, а также обосновывает модифицированный лагранжиан для модели Скирма.

On polynorms on non-associative algebras and their possible applications to Physics

The paper contains several results regarding non-associative algebras, which are quadratic over their center. In particular, it is proved that in quadratic algebras there exists an almost exact automorphism. As a particular, but wide class of such algebras, is presented the notion of algebras with central conjugation, which are generalizations of the hypercomplex Cayley-Dickson algebras. It is proved, that alternative algebras with central conjugation are endowed with a multiplicative norm of order two (which is generally not real). As consequence, these algebras (in particular the bi-quaternions and the bi-octaves) have a multiplicative real poly-norm, which has several different, but equivalent, representations. Further are introduced the quadri-scalar and the quadri-vector products. For the example of the bi-quaternionic algebra, are examined several possibilities of applying the developed technique to Geometry and Physics. In particular, it is shown that the study of the 4-norm in the field theory provides a natural transition from the Maxwell electrodynamics to the Born-Infeld electrodynamics, and motivates the modified Lagrangian from the Skyrme model