О сведении уравнений Максвелла в волноводах к системе связанных уравнений Гельмгольца

Исследование электромагнитного поля в регулярном волноводе, заполненным однородным веществом, сводится к исследованию двух независимых краевых задач для уравнения Гельмгольца. В случае волновода, заполненного неоднородным веществом, между модами этих двух задач возникает связь, которую в численных экспериментах не всегда удаётся учесть в полной мере. В настоящей статье показано, как переписать уравнения Гельмгольцав векторной форме, чтобы выразить эту связь явно.В работе рассматривается цилиндрический волновод с идеально проводящими стенками,заполнение которого может менять в поперечном сечении произвольным образом. В основе нашего подхода лежит двумерный аналог теоремы, известной в теории упругих тел как декомпозиция Гельмгольца. На её основании будут введены четыре потенциала вместо двух,обычно используемых в теории полых волноводов. Доказано, что любое решение уравнений Максвелла в волноводе, удовлетворяющее краевым условиям идеальной проводимости на стенках волновода, можно представить при помощи этих потенциалов. Система уравнений Максвелла записана относительно этих потенциалов, и показано, что эта система переходит в пару несвязанных уравнений Гельмгольца в случае полого волновода.

On the Reduction of Maxwell’s Equations in Waveguides to the System of Coupled Helmholtz Equations

The investigation of the electromagnetic field in a regular homogeneous waveguide reducesto the investigation of two independent boundary value problems for the Helmholtz equation,corresponding to TE- and TM-modes. In the case of an inhomogeneous waveguide TE- andTM-modes are connected to each other, which in numerical experiments can not always be fullytaken into account. In this paper we show how to rewrite the Helmholtz equations in vectorform to express this relationship explicitly.In the article the cylindrical waveguide with perfectly conducting walls is considered, but wedon’t make any assumptions about filling of waveguide. The introduced approach is based ontwo-dimensional analogue of the theorem known in the theory of elastic bodies as the Helmholtzdecomposition. On its basis, we introduce four potentials, instead of two potentials, usuallyused in the theory of hollow waveguides. It is proved that any solution of Maxwell’s equationsin a waveguide that satisfies the boundary conditions of ideal conductivity on the boundariesof a waveguide can be represented with the help of these potentials. The system of Maxwell’sequations is written with respect to these potentials and it is shown that this system has theform of two independent Helmholtz equations in the case of a hollow waveguide.