Применение неоднородной разностной схемы высокого порядка для численного анализа сингулярно возмущенного уравнения Фоккера-Планка

В настоящее время проблемы стохастического анализа занимают значительное место в различных областях науки и техники. Если мы пытаемся решать такие задачи сложных стохастических систем, то мы должны учитывать эффекты, связанные с флуктуациями, которые имеют место в таких системах. Причины этих флуктуаций имеют разную природу в разных системах: турбулентность в газах и жидкостях, тепловые шумы в различных материалах, радиопомехи в телекоммуникационных сетях, случайные изменения спроса и предложения на различных рынках и др., но при этом теоретические методы, применяемые для их исследования, очень схожи. На сегодняшний момент существуют различные математические методы, использующие теорию броуновского движения, теорию диффузионного процессов, теорию марковских случайных процессов и др., которые позволяют решать сложные задачи, решения которых описывают эволюцию таких систем. Целью данной работы является применение неоднородной разностной схемы высокого порядка для численного анализа начально-краевой задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения Фоккера-Планка с малым параметром. Численный анализ показал, что примененная численная схема может быть использована для анализа процессов в теории массового обслуживания для моделирования нагрузки в сетях 5G/6G, статистической радиофизике, физике плазмы, теории твердого тела, магнитной гидродинамике и др.

The problems of stochastic analysis have a significant place in various fields of science and technology at the present time. If we solve such problems, we must take into account fluctuation effects. The causes of these fluctuations are different in these problems. The problems, which may relate to the study such such as turbulence of gaseous and liquid substances, thermal noise in materials, noise immunity in telecommunication networks, but the methods of their theoretical research are very similar. There are mathematical methods using the theory of Brownian motion, the theory of diffusion-type processes and the theory of Markov random processes, which makes it possible to solve complex problems of these types at the present time. The aim of this work is numerical analysis of solutions of the singularly perturbed Fokker-Planck equation on a high-order non-uniform grid scheme of various problems with a small parameter. These problems can be solved on the basis of the generalized theory of Brownian motion. Numerical examples demonstrated that applied numerical scheme can be used to analyze processes in queuing theory for 5G/6G network modeling, statistical radiophysics, plasma physics, solid state theory, magnetohydrodynamics, etc.