Температурная деформация тонкой многослойной упругой полосы

Для тонкой слоистой полосы решение строится аналитически на уравнениях теории упругости. Преобразование (без применения каких-либо гипотез) позволяет получить запись для искомых величин (всех компонент напряженно-деформированного состояния) в виде полиномиальных (по поперечной координате) и асимптотических (по малому параметру тонкостенности) рядов. Рассмотрение процесса наращивания разрешающего соотношения (в виде ряда) как итерационного, применение в качестве начального приближения неизвестных функций (произволов интегрирования), определяемых в ходе решения, обобщают идею полуобратного метода Сен-Венана. Возникновение произволов интегрирования, в свою очередь, связано с интегрированием в процессе преобразования исходной системы (с целью исключения дифференцирования по поперечной координате). Действие интегральных операторов и роль произволов интегрирования здесь отвечает концепции метода последовательных приближений Пикара. Существование и единственность решения в виде асимптотического ряда обуславливается теоремой Банаха о неподвижной точке (принципом сжимающих отображений). Аналитическая форма результирующих соотношения, внутренняя совместность приближенного решения (в смысле баланса величин равного асимптотического порядка) достигаются рассмотрением медленно меняющихся компонент (основного решения) и быстро меняющихся (типа краевого эффекта), взаимными асимптотическими оценками по малому параметру тонкостенности.

For a thin layered strip, the solution is constructed analytically using the equations of elasticity theory. The transformation (without applying any hypotheses) allows us to obtain a record for the desired quantities (all components of the stress-strain state) in the form of polynomial (along the transverse coordinate) and asymptotic (along the small thin-wall parameter) series. Consideration of the process of increasing the resolution relation (in the form of a series) as an iterative one, and the use of unknown functions (arbitrariness of integration) determined during the solution as an initial approximation generalize the idea of the semi-inverse Saint-Venant method. The emergence of arbitrariness of integration, in turn, is associated with integration during the transformation of the original system (in order to eliminate differentiation along the transverse coordinate). The action of integral operators and the role of arbitrariness of integration here corresponds to the concept of Picard’s method of successive approximations. The existence and uniqueness of a solution in the form of an asymptotic series is determined by Banach's fixed point theorem (the principle of contraction mappings). The analytical form of the resulting relationships, the internal consistency of the approximate solution (in the sense of a balance of values of equal asymptotic order) are achieved by considering slowly changing components (the main solution) and rapidly changing ones (such as the edge effect), mutual asymptotic estimates for the small thinness parameter.